30.10.2017 KATTAS11 Taloustieteen matematiikka II 5.00 op. Nikula Harri



02.11.2016 KATTAS11 Taloustieteen matematiikka II 5.00 op. Nikula Harri


Tenttiohjeet
KATTAS11 Taloustieteen matematiikan jatkokurssi.
Luentotentti 2.11.2016

Merkintä sulkeiden sisällä ilmoittaa vastauksen maksimipistemäärän. Tentin maksimipistemäärä on 25.
Kysymys 1
1. a) Esitä ratkaisusi eri vaiheet kun ratkaiset integraalit ∫ x(x^(-1)+2x^2) dx välillä [0,1]
        ja ∫ (x^(-1) + 2 ) dx välillä [0,e]   (3p)

b) Esitä substituutiomenetelmä kun ratkaiset integraalin ∫ (4dx / (2x-1))   (1,5p)

c) Esitä ratkaisusi eri vaiheet kun ratkaiset integraalin ∫ ((e^(-2t) - e^(2t)) dt välillä [0,∞]. Piirrä integroitu alue. (1,5p)


Kysymys 2
2. a) Esitä jokin ensimmäisen kertaluvun lineaarinen ja epäautonominen differentiaaliyhtälö ja ratkaise se. (1,5p)

b) Esitä jokin ensimmäisen kertaluvun epälineearinen ja separoituva differentiaaliyhtälö ja ratkaise se. (1,5p)

c) Ratkaise differentiaaliyhtälö:

y'' + 2y' + ay = 1

kun a=0 ja a=5. Ovatko ratkaisut dynaamisesti stabiileja? Hahmottele myös aikasarjaurat ratkaisuille. (3p)
Kysymys 3
3. Olkoon differenssiyhtälö y(t+1) = [(y(t))^a] / 2       ,        y ≥ 0

Tutki mahdollisia tasapainoja ja niiden stabiilisuutta vaihediagrammin ja laskennan avulla, kun

a) a=1

b) a= -(1/2)

Hahmottele yo. ratkaisujen aikasarjakuvaajat, kun oletamme, että y0= (2/10) 
(4p)
Kysymys 4
4. Tutki ryhmän 
x'= f(x,y)
y'= g(x,y)

stabiilisuutta, kun fx (f-funktion osittaisderivaatta x:n suhteen) = 0, fy< 0, gx	<0 ja gy =0.
Käytä diagrammiesitystä.        (3p)

Kysymys 5
5. Olkoon optimointiongelma seuraava:
Maksimoi ∫(u - u^2) dt   välillä [0,1]

Ehdoilla: y'= -u
               y(0)= ˙ = vakio

Ratkaise ongelma optimiohjausmenetelmän keinoin, eli etsi optimaaliset urat ohjausmuuttujalle u(t), tilamuuttujalle y(t) ja liittotilamuuttujalle 	λ(t), kun

a) y(1) = 0  (3p)
b) y(1) ≥ 0  (3p)

22.10.2013 KATTAS11 Taloustieteen matematiikka II 5.00 op. Saariaho Matti


Kysymys 1
a) Olkoot rajatulofunktio muotoa R'(Q)=4Q-e^(0,7Q)
Laske kokonaistulofunktio R(Q)

b) Ratkaise alkuarvoprobleema, kun y =y(t) ja 
y' + y = t     y(0)=3
Kysymys 2
a) Olkoot hyödykkeen kysyntä ja tarjonta muotoa (P*=P pallo)
Qd=a-BP+NP*
Qs=SP,  a,B,S,n>0
Oletetaan, että markkinat ovat tasapainossa. Etsi hinnan P(t) aikaura.
Mikä on pitkän tähtäyksen tasapainohinta? Onko hinta stabiili?

b) Oletetaan lukinseittimalli, jossa kysyntä- ja tarjontayhtälöt ovat
Qd(t)=19-6P(t),    Qs(t)=-5+6P(t-1)
Etsi pitkän tähtäyksen tasapainohinta. Stabiloituuko systeemi?
Kysymys 3
Ratkaise alkuarvoprobleemat

a) y"+6y'+9y=0                     y(0)=0, y'(0)=1

b)y(t+2)+3y(t+1)-(7/4)y(t)=9       y(0)=6, y(1)=3
Kysymys 4
Tutki systeemin tasapainoratkaisuja ja stabiilisuutta (a) vaihediagrammin avulla, (b) linearisoimalla se, kun dy-ryhmä on muotoa

x*=y
y*=-2x-y
Kysymys 5
Sovella maksimointiperiaatetta ja etsi optimaaliset urat c(t):lle ja k(t):lle ja liittotilamuuttujalle lamda(t), jotka maksimoivat V:n, (§=määr.integ.)

V[c]= [0,T]§[(c(t))^a]dt s.t. k*=-c(t), k(0)=k0, k(T)=kT, k0>kT

missä k0, kT ja T ovat annettuja lukuja ja siis vakioita ja k(t) ja c(t) ovat pääomavaranto ja kulutus.

19.11.2013 KTALS110 Taloustieteen matematiikka II 6.00 op. Saariaho Matti


Kysymys 1
a) Olkoot rajatulofunktio muotoa R'(Q)=4Q-e^(0,7Q)
Laske kokonaistulofunktio R(Q)

b) Ratkaise alkuarvoprobleema, kun y =y(t) ja 
y' + y = t     y(0)=3
Kysymys 2
a) Olkoot hyödykkeen kysyntä ja tarjonta muotoa (P*=P pallo)
Qd=a-BP-NP*
Qs=SP,  a,B,S,n>0
Oletetaan, että markkinat ovat aina tasapainossa. Tutki vaihediagrammin avulla differentiaaliyhtälön stabiilisuutta.

b) Ratkaise yhtälö. Mikä on pitkän tähtäyksen tasapainohinta? Onko hinta stabiili

c) Oletetaan lukinseittimalli, jossa kysyntä- ja tarjontayhtälöt ovat
Qd(t)=19-6P(t),    Qs(t)=-5+6P(t-1)
Etsi pitkän tähtäyksen tasapainohinta. Stabiloituuko systeemi?
Kysymys 3
Ratkaise alkuarvoprobleemat

a) y"+6y'+5y=10                     y(0)=4, y'(0)=2

b)y(t+2)-8y(t+1)+16y(t)=9           y(0)=1/9, y(1)=2/9
Kysymys 4
Tutki systeemin tasapainoratkaisuja ja stabiilisuutta (a) vaihediagrammin avulla, (b) linearisoimalla se, kun dy-ryhmä on muotoa

x*=y
y*=2x-y
Kysymys 5
Sovella maksimointiperiaatetta ja etsi optimaaliset urat c(t):lle ja k(t):lle ja liittotilamuuttujalle lamda(t), jotka maksimoivat V:n, (§=määr.integ.)

V[c]= [0,T]§[(c(t))^a]dt s.t. k*=-c(t), k(0)=k0, k(T)=kT, k0>kT

missä k0, kT ja T ovat annettuja lukuja ja siis vakioita ja k(t) ja c(t) ovat pääomavaranto ja kulutus.

22.10.2013 KTALS110 Taloustieteen matematiikka II 6.00 op. Saariaho Matti


Kysymys 1
a) Olkoot rajatulofunktio muotoa
R'(Q) = 4Q - e^0.7Q
Laske kokonaistuotantofunktio R(Q)

b) Ratkaise alkuarvoprobleema, kun y = y(t) ja

  y' + y = t   y(0)=3
Kysymys 2
a) Oloot hyödykkeen kysyntä ja tarjonta muotoa

                  o
   Qd = α - βP + ηP
   Qs = δP α,β,η,δ >0
Oletetaan että markkinat ovat aina tasapainossa. Etsi hinnan P(t) aikaura.
Mikä on pitkän tähtäyksen tasapainohinta? Onko hinta stabiili?

b) Oletetaan lukinseittimalli, jossa kysyntä- ja tarjontayhtälöt ovat

      Qd₁ = 19 - 6P₁, Qs₁= -5+6Pҭ₋₁

Etsi pitkän tähtäimen tasapainohinta. Stabiloituuko systeemi?
  
Kysymys 3
Ratkaise alkuarvoprobleemat

a) y'' + 6y' + 9y = 0   y(0)=0, y'(0) =1

b) Yҭ₊₂ + 3Yҭ₊₁ -7/4Yҭ = 9 Y₀ = 6, Y₁ = 3

Etsi pitkän tähtäyksen tasapainohinta. Stabiloituuko systeemi?
Kysymys 4
Tutki tasapainortakaisuja ja stabiilisuutta (a) vaihediagrammin avulla (b) linearisoimalla se, kun dy-ryhmä on muotoa


   o
   X = Y
   o
   Y = -2X-Y
Kysymys 5
Sovella maksimointiperiaatetta ja etsi optimaaliset urat c(t):lle ja k(t):lle ja liitotilamuuttujalle λ(t), jotka maksimoivat V:n,
                                               o
V[c] = (integraali 0:sta T:hen) (c(t))ᵃdt s.t. k = -c(t), k(0)=kₒ, k(T) = kҭ, kₒ>kҭ

missä kₒ, kҭ ja T ovat annettuja lukuja ja siis vakioita ja k(t) ja c(t) ovat pääomavaranto ja kulutus

17.01.2011 KTALS110 Taloustieteen matematiikka II 6.00 op. Ahteensivu Aarno


Tenttiohjeet
Oikea kuulustelija on Matti Saariaho.
Kysymys 1
Ratkaise alkuarvoprobleemat:
a) y\' + 4y = 12, y(0)=2
b) y\' - 2y = t, y(0)=3
Kysymys 2
a)Olkoot hyödykkeen kysyntä ja tarjonta:
Qd = alfa - beta*P + sigma*P\'    [Huom. P\' tarkoittaa P:tä jossa pallo päällä]
Qs = -gamma + delta*P
missä alfa, beta, delta ja gamma > 0
Oletetaan että markkinat ovat aina tasapainossa. Etsi hinnan P(t) aikaura. Mikä on pitkän tähtäyksen tasapainohinta? Tutki mallin stabiilisuus.
b) Oletetaan lukinseittimalli, jossa kysyntä- ja tarjontafunktiot ovat
Q(t)^d = 18 - 3*P(t)     ja    Q(t)^s = -3 + A*P(t-1), missä A>0.
[Huom. tässä kohdassa suluissa olevat tarkoittavat alaindeksejä]
Mikä on tasapainohinta? Millä A:n arvoilla systeemi suppenee?
Kysymys 3
Ratkaise alkuarvoprobleemat:
a) y\'\' + 6y\' + 5y = 10, y(0)=4 ja y\'(0)=2
b) y(t+2) + 3*y(t+1) - 7/4 * y(t) = 9, y(0)=6 ja y(1)=3
[Huom. tässä kohdassa suluissa olevat tarkoittavat alaindeksejä]
Kysymys 4
a) Etsi normaaliryhmän ratkaisu, kun ryhmä on muotoa
  {x\' = -3x + 4y
  {y\' = -2x + 3y
[Huom. x\' ja y\' tarkoittavat x:ää ja y:tä joissa pallo päällä]
b)Tutki ryhmän stabiilisuutta vaihediagrammin 
ja 
c)Linearisoinnin avulla
Kysymys 5
Sovella maksimointiperiaatetta ja etsi optimaaliset urat c(t):lle ja k(t):lle ja liittotilamuuttujalle lambda(t), kun 
V[c]= \"integraali 0:sta T:hen\" ln(c(t)) dt 
s.t. k\'=-c(t), k(0)=k_0, k(T)=k_T, k_0>k_T, missä k_0, k_T ja T ovat annettuja lukuja ja siis vakioita ja k(t) ja c(t) ovat pääomavaranto ja kulutus.
[Huom. k\' tarkoittaa k:ta jossa pallo päällä ja k_0 ja k_T tarkoittavat k:ta alaindekseillä 0 ja T]